Question

【題目】在經濟學中，函數的邊際函數定義為．某醫療設備公司生產某醫療器材，已知每月生產臺的收益函數為 （單位：萬元），成本函數（單位：萬元），該公司每月最多生產臺該醫療器材．（利潤函數=收益函數－成本函數）

（1）求利潤函數及邊際利潤函數；

（2）此公司每月生產多少臺該醫療器材時每臺的平均利潤最大，最大值為多少?（精確到）

（3）求為何值時利潤函數取得最大值，并解釋邊際利潤函數的實際意義．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）臺，萬元；（3）或；反映了產量與利潤增量的關系，從第二臺開始，每多生產一臺醫療器材利潤增量在減少.

【解析】

（1）根據利潤公式得到，根據邊際函數定義得到；

（2）判斷函數的單調性，計算和對應的平均利潤，從而得到結論；

（3）根據二次函數的對稱性求出的值.

（1）由題意知：且，

，

.

（2）每臺醫療器材的平均利潤，當且僅當時等號成立.

因為，當每月生產臺機器時，每臺平均約為萬元，每月生產臺時，每臺平均約為萬元，故每月生產臺時，每臺醫療器材的平均利潤最大為萬元.

（3），

由，得，此時隨增大而增大，

由得，此時隨增大而減小，

或時，取得最大值.

反映了產量與利潤增量的關系，從第二臺開始，每多生產一臺醫療器材利潤增量在減少.