Question

【題目】已知無窮數列的前n項和為，記， ，…， 中奇數的個數為．

(Ⅰ)若= n，請寫出數列的前5項；

(Ⅱ)求證："為奇數， (i = 2,3,4,...）為偶數”是“數列是單調遞增數列”的充分不必要條件；

(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入的值，即可求得， ， ， ， ．

（Ⅱ）根據題意，先證充分性和不必要性，分別作出證明．

（Ⅲ）分當為奇數和當為偶數，兩種情況進而推導數列的通項公式．

試題解析：

（Ⅰ）解： ， ， ， ， ．

（Ⅱ）證明：（充分性）

因為為奇數， 為偶數，

所以，對于任意， 都為奇數．

所以．

所以數列是單調遞增數列．

（不必要性）

當數列中只有是奇數，其余項都是偶數時， 為偶數， 均為奇數，

所以，數列是單調遞增數列．

所以“為奇數， 為偶數”不是“數列是單調遞增數列”的必要條件；

綜上所述，“為奇數， 為偶數”是“數列是單調遞增數列” 的充分不必要條件．

（Ⅲ）解：（1）當為奇數時，

如果為偶數，

若為奇數，則為奇數，所以為偶數，與矛盾；

若為偶數，則為偶數，所以為奇數，與矛盾．

所以當為奇數時， 不能為偶數．

（2）當為偶數時，

如果為奇數，

若為奇數，則為偶數，所以為偶數，與矛盾；

若為偶數，則為奇數，所以為奇數，與矛盾．

所以當為偶數時， 不能為奇數．

綜上可得與同奇偶．

所以為偶數．

因為為偶數，所以為偶數．

因為為偶數，且，所以．

因為，且，所以．

以此類推，可得．