Question

（2012•鹽城一模）如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知點A為橢圓

x2

9

+

2y2

9

=1的右頂點，點D（1，0），點P，B在橢圓上，

BP

=

DA

．
（1）求直線BD的方程；
（2）求直線BD被過P，A，B三點的圓C截得的弦長；
（3）是否存在分別以PB，PA為弦的兩個相外切的等圓？若存在，求出這兩個圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點P，B在橢圓上，

BP

=

DA

，可得點B的坐標，利用兩點式，我們可以求直線BD的方程；
（2）確定過P，A，B三點的圓C的圓心與半徑，求出圓心到直線BD的距離，由此，我們可以得到直線BD被過P，A，B三點的圓C截得的弦長；
（3）假設存在這樣的兩個圓M與圓N，其中PB是圓M的弦，PA是圓N的弦，則點M一定在y軸上，點N一定在線段PC的垂直平分線y=x-1上，當圓M和圓N是兩個相外切的等圓時，一定有P，M，N在一條直線上，且|PM|=|PN|，從而就可以得出結論

解答：解：（1）因為

BP

=

DA

，且A（3，0），所以|BP|=|DA|=2，
因為

BP

=

DA

，及BP與x軸平行，即可得B，P關于y軸對稱，
所以點P的橫坐標為1，從而得P（1，2），B（-1，2）…（3分）
所以直線BD的方程為x+y-1=0…（5分）
（2）線段BP的垂直平分線方程為x=0，線段AP的垂直平分線方程為y=x-1，
所以圓C的圓心為（0，-1），且圓C的半徑為r=

10

…（8分）
又圓心（0，-1）到直線BD的距離為d=

2

，
所以直線BD被圓C截得的弦長為2

r2-d2

=4

2

…（10分）
（3）假設存在這樣的兩個圓M與圓N，其中PB是圓M的弦，PA是圓N的弦，
則點M一定在y軸上，點N一定在線段PC的垂直平分線y=x-1上，
當圓M和圓N是兩個相外切的等圓時，一定有P，M，N在一條直線上，且|PM|=|PN|…（12分）
設M（0，b），則N（2，4-b），根據(jù)N（2，4-b）在直線y=x-1上，
∴4-b=2-1，∴b=3…（14分）
所以M(0，3)，N(2，1)，|PM|=|PN|=

2

，
故存在這樣的兩個圓，且方程分別為x²+（y-3）²=2，（x-2）²+（y-1）²=2…（16分）

點評：求直線方程的關鍵是求出點的坐標，求圓中的弦長要充分利用圓的性質，對于探究性問題，總是假設存在，再確定是否存在．