Question

（2012•鹽城一模）若關于x的方程kx+1=lnx有解，則實數k的取值范圍是

(-∞，

1

e2

]

．

Answer 1

分析：設f（x）=lnx-kx-1，將方程kx+1=lnx有解問題轉化為函數f（x）有零點問題，進而利用導數研究函數f（x）的單調性和極值，找到使函數有零點的k的范圍

解答：解：設f（x）=lnx-kx-1
則f′（x）=

1

x

-k=

1-kx

x

  （x＞0）
若k≤0，則f′（x）＞0，f（x）為（0，+∞）上的增函數，∵x→0時，f（x）→-∞，∴f（x）有且只有一個零點，即此時方程kx+1=lnx有解
若k＞0，則f（x）在（0，

1

k

）上為增函數，在（

1

k

，+∞）上為減函數
要使函數f（x）有零點，需f（

1

k

）≥0
即-lnk-2≥0
解得：k≤

1

e2

∴0＜k≤

1

e2

時，f（x）有零點，即此時方程kx+1=lnx有解
綜上所述：k≤

1

e2

故答案為 （-∞，

1

e2

]

點評：本題主要考查了方程的根與函數零點間的關系，構造函數解決零點存在性問題的方法，導數在函數單調性和極值中的應用，轉化化歸的思想方法