Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)在直線上，且，求的面積；

（3）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線分別交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），直線與直線交于點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)離心率，先將橢圓方程化為，再將點(diǎn)代入，求出，即可得出橢圓方程；

（2）先由題意，設(shè)，，根據(jù)，得到，代入橢圓方程，再根據(jù)，即可求出結(jié)果；

（3）設(shè)，得到直線的方程，得出，再由直線與橢圓方程聯(lián)立，根韋達(dá)定理，以及題中條件，得出，最后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得出結(jié)果.

（1）由題意，，代入點(diǎn)，解得，

所以即為所求橢圓的方程；

（2）由題意，設(shè)，，

由，得，代入橢圓方程，解得，

因此；

（3）設(shè)，則直線，則，

聯(lián)立與橢圓方程，得，

由韋達(dá)定理，得，所以，

所以；，

聯(lián)立直線和直線，得

所以，

又是橢圓上異于的一點(diǎn)，所以，即

所以可得.