已知函數
．
（Ⅰ）若
，求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）求函數
的單調區間；
（Ⅲ）設函數
．若至少存在一個
，使得
成立，求實數
的取值范圍．
（1）
（2）函數的單調遞增區間為
和
，
單調遞減區間為
（3）
解析試題分析：函數的定義域為
，
． 1分
（Ⅰ）當時，函數
，
，
．
所以曲線在點處的切線方程為
，
即．4分
（Ⅱ）函數的定義域為
．
（1）當
時，
在上恒成立，
則
在上恒成立，此時在上單調遞減． 5分
（2）當
時，
，
（ⅰ）若
，
由
，即
，得
或
； 6分
由，即
，得
．7分
所以函數的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為． 8分
（ⅱ）若
，
在上恒成立，則
在上恒成立，此時 在上單調遞增． 9分
（Ⅲ））因為存在一個
使得，
則
，等價于
.10分
令
，等價于“當
時，
”.
對
求導，得
. 11分
因為當
時，
，所以在
上單調遞增. 13分
所以
，因此. 14分
另解：設
，定義域為，
.
依題意，至少存在一個，使得成立，
等價于當 時，
. 10分
（1）當時，
在
恒成立，所以
在單調遞減，
只要
，不滿足題意. 11分
（2）當時，令
得
.
（ⅰ）當
，即
時，
在
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（
）是偶函數
的值；
，若函數
與
的圖像有且只有一個公共點，求實數
的取值范圍
，證明函數
在
上單調遞增；
.
上的最大值和最小值．
．
的定義域為
,當
時,
,且對于任意的
，恒有
成立.
；
時,
；
上的值域.
（2）
，
，
．
，試判斷并證明函數
的單調性；
時，求函數
．
,
，是否存在實數
,使
同時滿足下列兩個條件：（1）
上是減函數，在
上是增函數；（2）
，若存在，求出