Question

【題目】已知函數f（x）= x2﹣（a2﹣a）lnx﹣x（a＜0），且函數f（x）在x=2處取得極值．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若x∈[1，e]，f（x）﹣m≤0成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f′（x）=x﹣ ﹣1，f′（2）=0，得a=﹣1或a=2（舍去）

經檢驗，當a=﹣1時，函數f（x）在x=2處取得極值．

a=﹣1時，f（x）= x2﹣2lnx﹣x，f′（x）=x﹣ ﹣1，

則f（1）=﹣ ，f′（1）=﹣2，

所以所求的切線方式為y+ =﹣2（x﹣1），

整理得4x+2y﹣3=0；

（2）解：問題轉化為：求f（x）在區間[1，e]上的最大值：

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
f'（x）		﹣	0	+
f（x）		↘	最小值	↗

比較 ，

所以 ，即

【解析】（1）求出函數的導數，求出a的值，從而求出f（x）的表達式，求出切線方程即可；（2）問題轉化為：求f（x）在區間[1，e]上的最大值，根據函數的單調性求出f（x）的最大值，從而求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．