Question

已知雙曲線（其中）.
（1）若定點到雙曲線上的點的最近距離為，求的值；
（2）若過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線交雙曲線于、兩點，其中，是雙曲線的右焦點.求△的面積.

Answer 1

(1)或；(2)．

試題分析：(1)本題涉及兩點間距離，因此我們設雙曲線上任一點為，這樣可表示出距離的平方，注意到雙曲線上的點滿足，故要對進行分類討論以求最小值；(2)設，，由于，因此，而可以用直線方程與雙曲線方程聯立方程組，消去可得的一元二次方程，從這個方程可得，從而得三角形面積．
試題解析：（1）設點在雙曲線上，由題意得：。
由雙曲線的性質，得。     1分
（i）若，則當時，有最小值。最小值，所以。     3分
（ii）若，則當時，有最小值，此時，解得。     6分
（2），，直線與軸垂直時，，此時，△的面積=.         7分
直線與軸不垂直時，直線方程為，         8分
設，
解法1：將代入雙曲線方程，整理得：，即
         10分
所以，         11分

=.     14分
解法2：將代入雙曲線方程，整理得：
，         10分
，，         11分

點到直線距離，
△的面積

=.     14分