Question

已知定點A (p為常數，p>0)，B為x軸負半軸上的一個動點，動點M使得|AM|＝|AB|，且線段BM的中點G在y軸上．

(1)求動點M的軌跡C的方程；
(2)設EF為曲線C的一條動弦(EF不垂直于x軸)，其垂直平分線與x軸交于點T(4,0)，當p＝2時，求|EF|的最大值．

Answer 1

（1）y²＝2px(p>0，x≠0)（2）6.

(1)設M(x，y)，則BM的中點G的坐標為，B(－x,0)．
又A，故＝，＝.
由題意知GA⊥GM，所以＝0，
即＝0，所以y²＝2px.
因為M點不能在x軸上，故曲線C的方程為y²＝2px(p>0，x≠0)．
(2)設弦EF所在直線方程為
y＝kx＋b，E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)．
由得k²x²＋(2kb－4)x＋b²＝0，①
則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.則線段EF的中點為，線段EF的垂直平分線的方程為：
y－＝－.令y＝0，x＝4，得－＝－.
得bk＝2－2k².所以|EF|²＝(1＋k²)·(x₁－x₂)²＝(1＋k²)·[(x₁＋x₂)²－4x₁x₂]＝(1＋k²) ＝16(1＋k²)·＝16(1＋k²)·＝16＝－16²＋36.
由①，Δ＝(2kb－4)²－4k²b²＝4k²b²－16kb＋16－4k²b²＝16－16kb＝16－16(2－2k²)＝32k²－16>0.
得k²>，即0<<2.
所以，當＝，即k＝±時，|EF|²取得最大值，最大值等于36，即|EF|的最大值為6.