Question

【題目】某公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，，AB的長(zhǎng)為2百米，BC的長(zhǎng)為1百米.

（1）若準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（1），使得，，在△DEF內(nèi)喂食，求當(dāng)△DEF的面積取最大值時(shí)EF的長(zhǎng)；

（2）若準(zhǔn)備建造一個(gè)荷塘，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，記，求△DEF邊長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的值.（精確到1米和0.1度）

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值是65米，

【解析】

（1）設(shè)EF＝x，則可求CE，BE，DE，求得S△DEFx（1），x∈（0，2），由基本不等式可得：（1）（）2當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，從而可求當(dāng)△DEF的面積取最大值時(shí)EF的長(zhǎng)；

（2）設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為EF＝ED＝DF＝y，在△EBD中，由正弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)可得y0.65，即可求得△DEF邊長(zhǎng)的最小值及此時(shí)α的值．

（1）設(shè)，則，故，所以，S△DEF，，

因?yàn)镾△DEF當(dāng)且僅當(dāng)（即EF長(zhǎng)100米）時(shí)等號(hào)成立，

即（S△DE）max.

（2）設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，在△EBD中，，，

由題意可知，則，所以，

即，即△DEF邊長(zhǎng)的最小值是65米，

此時(shí)，，