Question

【題目】已知點,,直線與直線相交于點,直線與直線的斜率分別記為與,且．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過定點作直線與曲線交于兩點, 的面積是否存在最大值？若存在,求出面積的最大值；若不存在,請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最大值為．

【解析】

試題（Ⅰ）本題求軌跡方程，采用直接法，只要設動點坐標為，求出斜率，由化簡可得，注意斜率存在時，最后方程中要剔除此點；（Ⅱ）假設存在，首先直線斜率存在，可設其方程為，與橢圓方程聯立整理為關于的一元二次方程，同時設交點為，由可得，而，這樣可把表示為的函數，可由基本不等式知識求得最大值．

試題解析：（Ⅰ）設，則，

所以所以（未寫出范圍扣一分）

（Ⅱ）由已知當直線的斜率存在，設直線的方程是，

聯立，消去得，

因為，所以，

設，

當且僅當時取等號，面積的最大值為．