Question

【題目】設橢圓，定義橢圓C的“相關圓”E為:.若拋物線的焦點與橢圓C的右焦點重合，且橢圓C的短軸長與焦距相等.

（1）求橢圓C及其“相關圓”E的方程；

（2）過“相關圓”E上任意一點P作其切線l，若l 與橢圓交于A,B兩點，求證:為定值（為坐標原點）；

（3）在（2）的條件下，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由題設知，又，從而可得，得橢圓方程，及相關圓方程；

（2）對直線斜率進行討論，斜率不存在時，直接寫出直線方程，求出坐標，得，

斜率存在時，設直線方程為，與橢圓方程聯立方程組，消元后得關于的二次方程，有韋達定理得，由直線與圓相切得關系，計算也可得，定值．

（3）由于是“相關圓”半徑，所以，結合韋達定理求得，并得到其范圍，從而得面積的范圍．

（1）拋物線的焦點是，與橢圓的一個焦點重合，∴，又，所以，

橢圓方程為，“相關圓”的方程為．

（2）當直線斜率不存在時，不妨設其方程為，則，可得．

當直線斜率存在時，設其方程為，設，由得，

，即，

由韋達定理得，．

因為直線與圓相切，所以，整理得，

所以，所以，，為定值．

（3）由于，因此求面積的取值范圍只要求弦長的取值范圍．

當直線斜率不存在時，，，

當直線斜率存在時，

，

時，0，

時，，

∴，即，當且僅當即時，．

所以的取值范圍是，

故面積的取值范圍是．