Question

【題目】已知點在橢圓上，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的右頂點，點是橢圓上不同的兩點（均異于）且滿足直線與斜率之積為.試判斷直線是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由點在橢圓上，且橢圓的離心率為，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（2）由題意，直線的斜率存在，可設直線的方程為， ， ，聯立，得，根據韋達定理、斜率公式及直線與斜率之積為，可得，解得或，將以上結論代入直線方程即可得結果.

試題解析：（1）可知離心率，故有，

又有點在橢圓上，代入得，

解得， ，

故橢圓的方程為.

（2）由題意，直線的斜率存在，可設直線的方程為

， ， ，

聯立得.

∴， .

∵直線與斜率之積為.

而點，∴.

∴.

化簡得，

∴，

化簡得，解得或，

當時，直線的方程為直線與斜率之積為，過定點.

代入判別式大于零中，解得.

當時，直線的方程為，過定點，不符合題意.

故直線過定點.