Question

某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示．

一次購物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顧客數（人）		30	25		10
結算時間（分鐘/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55％．
（1）確定的值，并求顧客一次購物的結算時間的分布列與數學期望；
（2）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過分鐘的概率．（注：將頻率視為概率）

Answer 1

（1）
的分布為

X	1	1.5	2	2.5	3
P

X的數學期望為.
（2）

解析試題分析：（1）由已知,得所以
該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，
所以收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量隨機樣本，
將頻率視為概率得

 
5分
所以的分布為

X	1	1.5	2	2.5	3
P

X的數學期望為
.                          9分
（2）記A為事件“該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘”，為該顧客前面第位顧客的結算時間，則
.
由于顧客的結算相互獨立，且的分布列都與X的分布列相同，所以

.
故該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.                              14分
考點：本小題主要考查隨機變量的分布列、期望和相互獨立事件同時發生的概率.
點評：求解離散型隨機變量問題，首先要找出隨機變量的取值，其次要準確求出各個概率，可以用概率和是否為1檢驗求解是否正確.