Question

對于定義在區間D上的函數，若存在閉區間和常數，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數為區間D上的“平底型”函數.
（Ⅰ）判斷函數和是否為R上的“平底型”函數？   并說明理由；
（Ⅱ）設是（Ⅰ）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式 對一切R恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）若函數是區間上的“平底型”函數，求和的值.

Answer 1

（Ⅰ）是“平底型”函數，不是“平底型”函數
（Ⅱ）（Ⅲ）m＝1，n＝1

（1）對于函數，當時，.
當或時，恒成立，故是“平底型”函數（2分）
對于函數，當時，；當時，.
所以不存在閉區間，使當時，恒成立.
故不是“平底型”函數.                          （4分）
（Ⅱ）若對一切R恒成立，則.
因為，所以.又，則.（6分）
因為，則，解得.
故實數的范圍是.                               （8分）
（Ⅲ）因為函數是區間上的“平底型”函數，則
存在區間和常數，使得恒成立.
所以恒成立，即.解得或.  （10分）
當時，.
當時，，當時，恒成立.
此時，是區間上的“平底型”函數.          （11分）
當時，.
當時，，當時，.
此時，不是區間上的“平底型”函數.          （12分）
綜上分析，m＝1，n＝1為所求.                      （13分）