Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．

（1）若函數在區間上是單調函數，試求實數的取值范圍；

（2）已知函數，且，若函數在區間上恰有3個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據題意，由函數的解析式計算可得，由函數的導數與函數單調性的關系，分函數在區間上是為單調增函數和單調減函數兩種情況討論，分別求出的取值范圍，綜合即可得答案；（2）根據題意，對求導分析可得，由，知在區間內恰有一個零點，設該零點為，則在區間內不單調， 在區間內存在零點，同理， 在區間內存在零點，由（1）的結論，只需在區間內兩個零點即可，利用導數研究函數的單調性，從而可得實數的取值范圍.

試題解析：（1）由題意得，當函數在區間上單調遞增時， 在區間上恒成立.

∴（其中），解得；

當函數在區間上單調遞減時， 在區間上恒成立，

∴（其中），解得．

綜上所述，實數的取值范圍是．

（2）．

由，知在區間內恰有一個零點，

設該零點為，則在區間內不單調.

∴在區間內存在零點，同理， 在區間內存在零點.

∴在區間內恰有兩個零點．

由（1）知，當時， 在區間上單調遞增，故在區間內至多有一個零點，不合題意．當時， 在區間上單調遞減，故在區間內至多有一個零點，不合題意，

∴．令，得，

∴函數在區間上單調遞減，在區間內單調遞增．

記的兩個零點為， ,

∴， ，必有， ．

由，得.

∴，

又∵， ，

∴．

綜上所述，實數的取值范圍為．