Question

已知以原點D為中心，F（，0）為右焦點的雙曲線C的離心率，。

（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；
（2）如圖，已知過點M（x₁，y₁）的直線l₁：x₁x+4y₁y=4與過點N（x₂，y₂）（其中x₂≠x₁）的直線l₂：x₂x+4y₂y=4的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近 線分別交于G、H兩點，求△OGH的面積。

Answer 1

解：（1）設C的標準方程為 則由題意 因此 C的標準方程為 C的漸近線方程為，即x-2y=0和x+2y=0；
（2）如圖，由題意點E（xE，yE）在直線l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4 故點M、N均在直線xEx+4yEy=4上，因此直線MN的方程為xEx+4yEy=4 設G、H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點，由方程組 及解得： 設MN與x軸的交點為Q，則在直線xEx+4yEy=4中，令y=0 得 （易知xE≠0），注意到xE2-4yE2=4，得 。