Question

已知以原點O為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，M是橢圓上的動點，
（Ⅰ）若C，D的坐標分別是（0，），（0，），求|MC|·|MD|的最大值；
（Ⅱ）如圖，點A的坐標為（1，0），B是圓x²+y²=1上的點，N是點M在x軸上的射影，點Q滿足條件：，，求線段QB的中點P的軌跡方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設條件知焦點在y軸上，
故設橢圓方程為（a＞b＞0），
設，
由準線方程，
由，解得a=2，c=，從而b=1，
橢圓方程為；
又易知C，D兩點是橢圓的焦點，所以，
從而，
當且僅當|MC|=|MD|，即點M的坐標為（±1，0）時上式取等號，
的最大值為4。
（Ⅱ）如圖，設，
因為，
故，
，①
因為，
，
所以，②
記P點的坐標為，
因為P是BQ的中點，
所以，
由因為，
結合①，②得

，
故動點P的軌跡方程為。