Question

已知以原點(diǎn)O為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)
（Ⅰ）若C，D的坐標(biāo)分別是，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），B是圓x²+y²=1上的點(diǎn)，N是點(diǎn)M在x軸上的射影，點(diǎn)Q滿足條件：，、求線段QB的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）．設(shè)，由準(zhǔn)線方程．由此能夠求出橢圓方程．從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為（±1，0）時(shí)上式取等號(hào)，|MC|•|MD|的最大值為4．
（II）設(shè)M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172612847952183/SYS201311031726128479521020_DA/3.png">，故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172612847952183/SYS201311031726128479521020_DA/4.png">，（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．由此可導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，
故設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）．
設(shè)，由準(zhǔn)線方程得．
由得，解得a=2，c=，
從而b=1，橢圓方程為．
又易知C，D兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，
所以，|MC|+|MD|=2a=4
從而|MC|•|MD|，
當(dāng)且僅當(dāng)|MC|=|MD|，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（±1，0）時(shí)上式取等號(hào)，|MC|•|MD|的最大值為4．
（II）如圖（20）圖，設(shè)M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172612847952183/SYS201311031726128479521020_DA/15.png">，
故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4①
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172612847952183/SYS201311031726128479521020_DA/16.png">，
（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）
=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，
所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．②
記P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x_P，y_P），因?yàn)镻是BQ的中點(diǎn)
所以2x_P=x_Q+x_P，2y_P=y_Q+y_P
由因?yàn)閤_N²+y_N²=1，結(jié)合①，②得

=
==
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．