Question

已知以原點O為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，M是橢圓上的動點
（Ⅰ）若C，D的坐標分別是，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如題（20）圖，點A的坐標為（1，0），B是圓x²+y²=1上的點，N是點M在x軸上的射影，點Q滿足條件：，、求線段QB的中點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件知焦點在y軸上，故設橢圓方程為（a＞b＞0）．設，由準線方程．由此能夠求出橢圓方程．從而得到點M的坐標為（±1，0）時上式取等號，|MC|•|MD|的最大值為4．
（II）設M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．因為，故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4．因為，（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．由此可導出動點P的軌跡方程為．
解答：解：（Ⅰ）由題設條件知焦點在y軸上，
故設橢圓方程為（a＞b＞0）．
設，由準線方程得．
由得，解得a=2，c=，
從而b=1，橢圓方程為．
又易知C，D兩點是橢圓的焦點，
所以，|MC|+|MD|=2a=4
從而|MC|•|MD|，
當且僅當|MC|=|MD|，
即點M的坐標為（±1，0）時上式取等號，|MC|•|MD|的最大值為4．
（II）如圖（20）圖，設M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．
因為，
故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4①
因為，
（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）
=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，
所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．②
記P點的坐標為（x_P，y_P），因為P是BQ的中點
所以2x_P=x_Q+x_P，2y_P=y_Q+y_P
由因為x_N²+y_N²=1，結合①，②得

=
==
故動點P的軌跡方程為
點評：本題考查圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細求解．