Question

（2012•普陀區一模）設點F是拋物L：y²=2px（p＞0）的焦點，P₁，P₂，…，P_n是拋物線L上的n個不同的點n（n≥3，n∈N^*）．
（1）當p=2時，試寫出拋物線L上三點P₁、P₂、P₃的坐標，時期滿足|

FP1

|+|

FP2

|+|

FP3

|=6；
（2）當n≥3時，若

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=

0

，求證：|

FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=np；
（3）當n＞3時，某同學對（2）的逆命題，即：“若|

FP1

|+| 

FP2

|+…+|  

FPN

|=np，則

FP1

+

FP2

+…+

FPN

=

0

”開展了研究并發現其為假命題．
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：
1．試構造一個說明該命題確實是假命題的反例；
2．對任意給定的大于3的正整數n，試構造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由：
3．如果補充一個條件后能使該命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線l的焦點為F（

p

2

，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），利用拋物線的定義可得x₁+x₂+x₃=3，故可取滿足條件的三點；
（2）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用拋物線的定義可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=

np

2

，從而可證

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=np
（3）①取n=4時，拋物線l的焦點為F（

p

2

，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分別過P₁、P₂、P₃，P₄作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，利用拋物線的定義，可得x₁+x₂+x₃+x₄=2p，從而可得結論；
②設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用拋物線的定義，可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=

np

2

，從而可得結論；
③補充條件：點P_i的縱坐標滿足y₁+y₂+…+y_n=0，即當n＞3時，|

FP1

|+| 

FP2

|+…+|  

FPn

|=np，點P_i的縱坐標滿足y₁+y₂+…+y_n=0，則

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=

0

．

解答：解：（1）拋物線l的焦點為F（

p

2

，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
分別過P₁、P₂、P₃作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，
∴|

FP1

|+|

FP2

|+|

FP3

|=（x₁+

p

2

）+（x₂+

p

2

）+（x₃+

p

2

）=x₁+x₂+x₃+

3p

2

=6
∵p=2，∴x₁+x₂+x₃=3
故可取P₁（

1

2

，

2

），P₂（1，2），P₃（

3

2

，

6

）滿足條件；
（2）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=（x₁+

p

2

）+（x₂+

p

2

）+（x₃+

p

2

）+…+（x_n+

p

2

）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+

np

2

∵

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=

0

           
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=

np

2

∴

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=

np

2

+

np

2

=np
（3）①取n=4時，拋物線l的焦點為F（

p

2

，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分別過P₁、P₂、P₃，P₄作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，
∴

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FP4

|=x₁+x₂+x₃+x₄+2p=4p
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2p
不妨取P1(

p

4

，

2 p

2

)，P2(

p

2

，p)，P3(

p

2

，-p)，P4(

3p

4

，

6 p

2

)，則

FP1

+

FP2

+…+

FP4

≠

0

故P1(

p

4

，

2 p

2

)，P2(

p

2

，p)，P3(

p

2

，-p)，P4(

3p

4

，

6 p

2

)是一個當n=4時，該逆命題的一個反例；
②設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∵|

FP1

|+| 

FP2

|+…+|  

FPn

|=np，∴x₁+x₂+x₃+…+x_n+

np

2

=np，∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=

np

2

因為上述表達式與點的縱坐標無關，所以將這n點都取在x軸的上方，則它們的縱坐標都大于0，則

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=（0，y₁+y₂+…+y_n）≠

0

③補充條件：點P_i的縱坐標滿足y₁+y₂+…+y_n=0，即當n＞3時，|

FP1

|+| 

FP2

|+…+|  

FPn

|=np，點P_i的縱坐標滿足y₁+y₂+…+y_n=0，則

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=

0

由②知，命題為真．

點評：本題考查拋物線的定義，考查向量的運算，解題的關鍵是正確運用拋物線的定義，難度較大．