Question

【題目】已知函數f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.

(1)當a>0時，求函數f(x)的單調區間；

(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－ (a∈Z)成立，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）5.

【解析】試題分析：（1）先求導數，轉化研究二次函數符號變化規律：當判別式非正時，導函數不變號；當判別式大于零時，定義域上有兩個根 ，導函數符號先負再正再負（2）先利用參變分離法化簡不等式得，轉化求函數最小值,利用導數可得有唯一極小值，也是最小值，再根據極點條件求最小值取值范圍，進而可得a的最小值．

試題解析： 解　(1)f′(x)＝，x>－1.

當a≥時，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上單調遞減．

當0<a<時，

當－1<x<時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；

當<x<時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當x>時，f′(x)<0，f(x)單調遞減．

綜上，當a≥時，f(x)的單調遞減區間為(－1，＋∞)；

當0<a<時，f(x)的單調遞減區間為，，

f(x)的單調遞增區間為.

(2)原式等價于ax>(x＋1)ln (x＋1)＋2x＋1，

即存在x>0，使成立．

設，x>0，

則，x>0，

設h(x)＝x－1－ln (x＋1)，x>0，

則h′(x)＝1－>0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

又h(2)<0，h(3)>0，根據零點存在性定理，可知h(x)在(0，＋∞)上有唯一零點，設該零點為x0，則x0－1＝ln (x0＋1)，且x0∈(2,3)，

∴

又a>x0＋2，a∈Z，∴a的最小值為5.