Question

如圖，橢圓與一等軸雙曲線相交，是其中一個交點，并且雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，雙曲線的焦點是橢圓的頂點，的周長為.設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；
（Ⅲ）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）由題意知，雙曲線的離心率為，橢圓離心率為，得，1分
又，所以可解得，，所以，所以橢圓的標準方程為；                                                4分
所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為
。                                                            6分

略