Question

（本小題滿分14分）
如圖，在三棱錐P－ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC＝90°，PB＝AC＝2PA＝4，O為AC的中點。

（Ⅰ）求證：BO⊥PA；
（Ⅱ）判斷在線段AC上是否存在點Q（與點O不重合），使得△PQB為直角三角形？若存在，試找出一個點Q，并求的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）在等邊△ABC中BO⊥AC，BO=，在直角△PAC中PO=2，在△PBO中，由PB=4，得PB²=PO²+BO²所以BO⊥PO所以BO⊥平面PAC所以BO⊥PA（Ⅱ）線段AC上存在點Q， 滿足使得△PQB為直角三角形

試題分析：（Ⅰ）證明：如圖，連結PO，

在等邊△ABC中，因為O是AC的中點，且AC=4，
所以BO⊥AC，BO=。
在直角△PAC中，因為O是斜邊AC的中點，且AC=4，
所以PO=2，
在△PBO中，由PB=4，得PB²=PO²+BO²，
所以BO⊥PO。    3分
又因為AC∩PO=O，AC平面PAC，PO平面PAC，
所以BO⊥平面PAC，  5分
又因為PA平面PAC，
所以BO⊥PA。         7分
（Ⅱ）答：線段AC上存在點Q，使得△PQB為直角三角形。
具體過程如下：
如圖，過P作PM⊥AC于點M，連結BM，
因為BO⊥平面PAC，
所以BO⊥PM。
又因為BO∩AC=O，BO平面ABC，AC平面ABC，
所以PM⊥平面ABC，                                                10分
所以PM⊥BM，即△PMB為直角三角形。
故當點Q與點M重合時，△PQB為直角三角形。                            12分
在直角△PAC中，由∠APC=90°，AC=2PA=4，
得AM=1，（即AQ=1），MC=3（即QC=3），
所以當時，△PQB為直角三角形。                    14分
點評：線線垂直與線面垂直之間可以互為條件結論，本題主要利用兩者間的互相推出關系證明計算