Question

如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一點．
(1)求證：AC⊥DE；
(2)已知二面角A­PB­D的余弦值為，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

解析試題分析：
解題思路：（1）利用線面垂直的性質推得線線垂直：（2）建立空間坐標系，利用二面角A­PB­D的余弦值為，求出PD;進而利用空間向量求線面角的正弦值.
規律總結：對于空間幾何體中的垂直、平行關系的判定，要牢牢記住并靈活進行轉化，線線關系是關鍵；涉及夾角、距離問題以及開放性問題，要注意利用空間直角坐標系進行求解.
試題解析：(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，
∵DE?平面PBD，∴AC⊥DE.
(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設PD＝t，則A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一個法向量為n₁＝(1,0,0)，設平面PAB的法向量為n₂＝(x，y，z)，則根據,
得，令y＝1，得平面PAB的一個法向量為
∵二面角A­PB­D的余弦值為，
則|cos〈n₁，n₂〉|＝，即
＝，解得t＝2或t＝－2 (舍去)，
∴P(0，－，2)．
設EC與平面PAB所成的角為θ，
∵＝(－1,0，－)，n₂＝(，1,1)，
則sin θ＝|cos〈，n₂〉|＝，
∴EC與平面PAB所成角的正弦值為.
考點：1.線線垂直的判定；2.空間向量在立體幾何中的應用.