如圖1，直角梯形
中，
，
分別為邊
和
上的點，且
，
．將四邊形
沿
折起成如圖2的位置，使
．
（1）求證：
平面
；
（2）求平面與平面
所成銳角的余弦值.
（1）見解析；（2）
。
解析試題分析：（1）取DE中點G，連接FG,AG，
平面
，只需證平面AFG∥平面CBD，又
平面，
平面，故只需證
∥平面CBD，
∥平面CBD即可；
（2）要求平面與平面所成銳角的余弦值，需找兩平面的法向量，取
中點為H，連接DH，可證
， 故以中點H為原點，為
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知
是平面
的一個法向量，由
可得平面
的一個法向量為
，然后由空間兩向量夾角公式去求平面與平面所成銳角的余弦值。
試題解析：（1）證明：取DE中點G，連接FG,AG，CG.因為 CF
DG,所以FG∥CD.因為 CGAB, ,
所以AG∥BC.所以平面AFG∥平面CBD， 所以 AF∥平面CBD.
（2）解: 取中點為H，連接DH.
,
，
.
，
.
以中點H為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，
，
，
所以
的中點坐標為
因為
，所以
易知是平面的一個法向量，
設平面的一個法向量為
由
令
則
，
，
,
所以面與面所成角的余弦值為.
考點：（1）空間線面平行、面面平行、線面垂直判定定理的應用；（2）空間兩平面夾角的定義、平面法向量的定義的應用；（3）空間向量的基本運算。
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2
，E是PB上任意一點．
(1)求證：AC⊥DE；
(2)已知二面角APBD的余弦值為
，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在棱長為2的正方體
中，
分別是棱
的中點，點
分別在棱
,
上移動，且
.
當
時，證明：直線
平面
；
是否存在
，使平面與面
所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四棱錐
中，平面
平面
,
//
,
,
,且
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）求
和平面
所成角的正弦值；
（3）在線段
上是否存在一點
使得平面
平面，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=
AB.Q是PC上的一點，且PA∥平面QBD.
⑴確定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的正弦值．
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中，底面ABCD是邊長為1的正方形，E為
延長線上的一點且滿足
.
平面
；
為何值時，二面角
的大小為
.
為單位正交基，且
，則向量
的坐標是______________________．