Question

【題目】已知等差數列的前項的和為，公差，若，，成等比數列，；數列滿足：對于任意的，等式都成立.

（1）求數列的通項公式；

（2）證明：數列是等比數列；

（3）若數列滿足，試問是否存在正整數，（其中），使，，成等比數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在

【解析】

（1）將已知條件轉化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得數列的通項公式.

（2）根據遞推關系式進行作差變形，求得，由此證得數列是等比數列.

（3）根據，，成等比數列，則，，成等差數列，由（2）求得，由此求得，，根據單調遞減，對進行分類討論，由此求得的值.

（1）設數列公差為，由題設得.

即，解得.

∴數列的通項公式為：.

（2）∵

∴，①

∴，②

由得，③

∴，④

由得，由①知，，∴.

又，∴數列是等比數列.

（3）假設存在正整數，（其中），使，，成等比數列，則，，成等差數列.

由（2）可知：，∴.

于是，.

由于，所以

因為當時，，即單調遞減，

所以當時，，不符合條件，

所以或，

又，所以，所以

當時，得，無解，

當時，得，所以，

綜上：存在唯一正整數數組，使，，成等比數列.