Question

【題目】已知函數，其導函數設為.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數有兩個極值點，，試用表示；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若的極值點恰為的零點，試求，這兩個函數的所有極值之和的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ）根據題意，求出導數，解關于導數的不等式，即可求函數的單調區間。

（Ⅱ）根據有兩個極值點，，由（Ⅰ）知，利用韋達定理以及極值點對應的導函數的值為0，得，，將表達成，再代入各項對應得值即可。

（Ⅲ）根據題意，解出的極值點，代入，可得與的等量關系，再結合（Ⅱ）中的不等關系解出的范圍，將，這兩個函數的所有極值之和用表達出來，構造一個新的關于的函數，利用導數，即可求，這兩個函數的所有極值之和的取值范圍。

（Ⅰ），.

若，，在上單調遞增；

若，方程有兩個不等實根，

在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增 ；

（Ⅱ）因有兩個極值點，，由（Ⅰ）知，

且，，.

于是，

.

（Ⅲ）由，則的極值點為.

于是，，即.顯然，，則.

由（Ⅱ）知，，，則，解得或.

于是，.

故，的所有極值之和為，

因，若，則，在上單調遞減，

故.

若，知時有，則在上單調遞增，在上單調遞減，

故.

因此，當時，所求的取值范圍為.當時，所求的取值范圍為，

綜上，，這兩個函數的所有極值之和的取值范圍是 .