Question

【題目】給定數(shù)列.對，該數(shù)列前項的最小值記為，后項的最大值記為，令.

（1）設(shè)數(shù)列為2，1，6，3，寫出，，的值；

（2）設(shè)是等比數(shù)列，公比，且，證明：是等比數(shù)列；

（3）設(shè)是公差大于0的等差數(shù)列，且，證明：是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出及的值，并結(jié)合，可求出，，的值；

（2）易知數(shù)列是遞減數(shù)列，從而可知時，，，可得，且，進而可得，從而可知為定值，即可證明結(jié)論成立；

（3）是等差數(shù)列，先用反證法證明是單調(diào)遞減數(shù)列，再用反證法證明為數(shù)列中的最大項，從而可知，則，進而可證明結(jié)論成立.

（1）由題意，，則；

，則；

，則.

（2）因為是等比數(shù)列，公比，且，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，

則時，，，所以，且，

所以時，，

所以，即是等比數(shù)列.

（3）由是公差大于0的等差數(shù)列，且，可知.

①先用反證法證明是遞減數(shù)列，

假設(shè)不是遞減數(shù)列，設(shè)是第一個使得成立的項，則，，所以，即，與相矛盾，

所以是單調(diào)遞減數(shù)列.

②再用反證法證明為數(shù)列中的最大項，

假設(shè)不是數(shù)列的最大項，即存在使得成立，

若時，滿足，則，，故，與矛盾，即；

若時，滿足，則，，故，與矛盾，

所以為數(shù)列中的最大項.

綜上，是單調(diào)遞減數(shù)列，且為數(shù)列中的最大項，

故，即，

則時，，

故，

所以是等差數(shù)列.