Question

【題目】在平面直角坐標系中，點是直線上的動點，定點 點為的中點，動點滿足.

（1）求點的軌跡的方程

（2）過點的直線交軌跡于兩點，為上任意一點，直線交于兩點，以為直徑的圓是否過軸上的定點？ 若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）以 為直徑的圓過 軸上的定點

【解析】分析：（1）根據條件可得點的軌跡是以為焦點、以直線為準線的拋物線，其方程為．（2）假設以為直徑的圓過軸上的定點, 設 .由題意可得，，由得．設直線的方程為，與拋物線方程聯立消元后得到二次方程，結合根與系數的關系和上式可得，解得，進而可得以 為直徑的圓過 軸上的定點．

詳解：（1）由已知得垂直平分，故

又軸，

則，

所以點到點的距離和到直線的距離相等，

故點的軌跡是以為焦點、以直線為準線的拋物線，

由條件可得軌跡的方程為．

（2）假設以為直徑的圓過軸上的定點 ．

設 ,

則 ，

直線 的方程為 ，

令得 即．

同理可得.

由已知得 恒成立,即，

即．

設直線的方程為 ，

由消去整理得，

所以，

于是，

整理得，

解得 ．

故以 為直徑的圓過 軸上的定點．