Question

【題目】已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，.

（1）若是的中點，求證：平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，得到向量，求出平面平面的法向量，利用向量與平面垂直，即可證明線面平行；（2）求出平面與平面的法向量，利用法向量所成的角即可求解二面角的余弦值．

試題解析：（1）設AB＝a，取AC的中點O，連接EO，OP.

∵AE＝AC，又∠EAC＝60°，∴EO⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACDE，∴EO⊥平面ABC，∴EO⊥OP，

又OP∥AB，AB⊥AC，所以OP⊥AC.

以射線OP，OC，OE分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，

如圖，

則C（0，，0），A（0，－，0），E（0，0，），

D（0，，），B（a，－，0）.

則P（，0，0），

設平面EAB的法向量為＝（x0，y0，z0）. ＝（a，0，0），＝（0，，），

∴＝0，＝0，

即，令z0＝1，得y0＝－，又x0＝0，

∴＝（0，－，1）.

∴，

∴DP∥平面EAB （另法：取AB中點F，然后證DP∥EF或證平面ODP∥平面EAB）

（2）設平面EBD的法向量為＝（x1，y1，z1），易知平面ACDE的一個法向量為＝（1，0，0）.

∵，即，

令z1＝1，則x1＝，y1＝0，＝（，0，1）.

∴.