Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A在橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上，點P滿足

AP

=（λ-1）

OA

（λ∈R），且

OA

•

OP

=72，則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據向量共線定理可得|

OA

||

OP

|=72，設A（x，y）、PB為點A在x軸的投影，求出OP在x軸上的投影長度為|

OP

|cosθ，再利用基本不等式求最值，可得結論．

解答： 解：∵

AP

=（λ-1）

OA

，∴

OP

=λ

OA

，則O，P，A三點共線，
∵

OA

•

OP

=72，∴|

OA

||

OP

|=72，
設OP與x軸夾角為θ，設A（x，y），B為點A在x軸的投影，
則OP在x軸上的投影長度為|

OP

|cosθ=

72| OB |

| OA |2

=72×

|x|

x2+y2

=72×

1

16 25 |x|+ 9 |x|

≤72×

1

2 16×9 25

=15．
當且僅當|x|=

15

4

時等號成立．
則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為15．
故答案為：15．

點評：本題已知橢圓上的動點滿足的條件，求線段OP在x軸上的投影長度的最大值．著重考查了向量的數量積及其運算性質、向量的坐標運算公式、基本不等式與橢圓的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．