Question

已知復數z是方程x²+2x+5=0的解，且Imz＜0，若

a

z

+

.

z

=b+i（其中a、b為實數，i為虛數單位，Imz表示z的虛部），求復數w=a+bi的模．

Answer 1

分析：由方程結合題意可得z=-1-2i，代入已知由復數相等的定義可得ab的值，進而可得復數w，再由模長公式可得答案．

解答：解：方程x²+2x+5=0的解x=-1±2i，因為 Imz＜0，所以z=-1-2i，
將z=-1-2i代入

a

z

+

.

z

=b+i，得

a -1-2i -1+2i=b+i

，
化簡得

a+5=(b+i)(-1-2i)

=-b+2+（-1-2b）i，
由復數相等的定義可得：

a+5=-b+2 0=-1-2b

，
解得

a=- 5 2 b=- 1 2

，所以w=-

5

2

-

1

2

i，
所以|w|=

25 4 + 1 4

=

26

2

．

點評：本題考查復數的摸的運算，涉及復數的化簡和復數相等的定義，屬基礎題．