Question

【題目】有下列命題：①若，則；②若，則存在唯一實數，使得；③若，則；④若，且與的夾角為鈍角，則；⑤若平面內定點滿足，則為正三角形.其中正確的命題序號為 ________.

Answer 1

【答案】③⑤

【解析】

①：根據零向量與任一平面向量平行進行判斷即可；

②：根據零向量與任一平面向量平行進行判斷即可；

③：對已知向量等式進行平方，根據平面向量的運算性質進行求解即可；

④：根據平面向量夾角的坐標表示公式，結合鈍角的取值范圍進行求解即可；

⑤：根據平面向量加法的幾何意義，結合可以判斷出點是的重心，再根據平面向量減法的幾何意義，結合，可以判斷出點是的垂心，這樣可以確定的形狀.

①：當時，顯然滿足，但是不一定成立，故本命題是假命題；

②：當時，顯然成立，存在實數，使得，但是不是唯一的，故本命題是假命題；

③：因為，

所以，故本命題是真命題；

④：設與的夾角為，所以當時，

則有且，

即且，

解得且，故本命題是假命題；

⑤：因為所以，設中邊上的中點為，

如圖所示；

由平面向量的加法的幾何意義可知；，

所以，因此點是的重心.

，

因此有，同理可得，所以點是的垂心，

因此為正三角形，故本命題是真命題.

故答案為；③⑤