Question

若a，b∈R⁺，且a≠b，在①a²+3ab＞2b；②a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³；③a²+b²＞2（a-b-1）；④

b

a

+

a

b

＞2；⑤若m＞0，則

a

b

＜

a+m

b+m

這五個不等式中，恒成立的有

 

．

Answer 1

分析：①取a=0.1，b=2，則a²+3ab-2b=0.01+0.6-4＜0，即可判斷出；
②作差a⁵+b⁵-（a³b²+a²b³）=（a²-b²）（a³-b³），由于函數y=x²，y=x³在x＞0時都是單調遞增，又a≠b．
即可得出a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³；
③作差a²+b²-2（a-b-1）=（a-1）²+（b-1）²＞0，（a≠b），即可判斷出；
④由于a＞0，b＞0，a≠b，利用基本不等式即可得出．
⑤由于a（b+m）-b（a+m）=m（a-b），a，b∈R⁺，且a≠b，m＞0，可得當a＞b＞0時，a（b+m）-b（a+m）＞0，可得

a

b

＞

a+m

b+m

，即可判斷出．

解答：解：①取a=0.1，b=2，則a²+3ab-2b=0.01+0.6-4＜0，∴a²+3ab＜2b，不成立；
②∵a⁵+b⁵-（a³b²+a²b³）=（a²-b²）（a³-b³），由于函數y=x²，y=x³在x＞0時都是單調遞增，又a≠b．
∴a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³成立；
③∵a²+b²-2（a-b-1）=（a-1）²+（b-1）²＞0，（a≠b），∴a²+b²＞2（a-b-1）成立；
④∵a＞0，b＞0，a≠b，∴由基本不等式可得

b

a

+

a

b

＞2

b a • a b

=2，因此正確．
⑤∵a（b+m）-b（a+m）=m（a-b），a，b∈R⁺，且a≠b，m＞0，
∴當a＞b＞0時，a（b+m）-b（a+m）＞0，可得

a

b

＞

a+m

b+m

，因此不正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了不等式的性質、作差法比較兩個數的大小、取特殊值否定一個命題等基礎知識與基本技能方法，屬于基礎題．