Question

已知函數f（x）=x+x³，x∈R．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并證明你的結論；
（2）若a，b∈R，且a+b＞0，試比較f（a）+f（b）與0的大小．

Answer 1

分析：（1）求出導數f′（x），利用導數與函數單調性的關系即可作出判斷；
（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）f（x）的單調性可得f（a）＞f（-b），判斷f（x）的奇偶性，根據奇偶性的性質可得f（-b）與f（b）的關系，由此即可作出判斷；

解答：解：（1）函數f（x）=x+x³，x∈R是增函數，證明如下：
因為f′（x）=1+3x²＞0恒成立，
所以函數f（x）=x+x³，x∈R是增函數．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）知f（a）＞f（-b），
因為f（x）的定義域為R，定義域關于坐標原點對稱，
又f（-x）=（-x）+（-x）³=-x-x³=-（x+x³）=-f（x），
所以函數f（x）為奇函數．
于是有f（-b）=-f（b），
所以f（a）＞-f（b），從而f（a）+f（b）＞0．

點評：本題考查函數的奇偶性的應用及利用導數判斷函數的單調性，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力．