Question

如圖，在平面直坐標系中，已知橢圓，經過點，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線 有且只有一個交點。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設不經過原點的直線與橢圓相交與A，B兩點，第一象限內的點在橢圓上，直線平分線段，求：當的面積取得最大值時直線的方程。

 

Answer 1

解：（Ⅰ）∵橢圓經過點，∴又，

 ∴，∴  

∴橢圓的方程為

又∵橢圓與直線 有且只有一個交點

∴方程即有相等實根

∴    ∴ 

∴橢圓的方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓的方程為  故

設不經過原點的直線的方程交橢圓于

由得   

 

∴     

 

                                                     …………             

                                                   

直線方程為且平分線段

∴=解得

∴

又∵點到直線的距離

∴

設    

由直線與橢圓相交于A，B兩點可得

求導可得，此時取得最大值

此時直線的方程