Question

如圖，在平面直坐標系xOy中，已知橢圓，經過點（1，e），其中e為橢圓的離心率．且橢圓C與直線有且只有一個交點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設不經過原點的直線l與橢圓C相交與A，B兩點，第一象限內的點P（1，m）在橢圓上，直線OP平分線段AB，求：當△PAB的面積取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓過點（1，e），可得，再由及a²=b²+c²即可求得b²，∵橢圓C與直線有且只有一個交點，聯立方程組則有一解，從而消去y后△=0，解出a²；
（Ⅱ）由（Ⅰ）易求P點坐標，從而可得直線OP方程，設不經過原點的直線l的方程y=kx+t（t≠0），由AB中點在直線OP上、中點坐標公式及韋達定理即可求得k值，由弦長公式及點到直線的距離公式可表示出△PAB的面積，構造函數利用導數即可求得△PAB的面積取得最大值時直線l的方程，注意t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓經過點（1，e），∴，
又，
∴，∴b²=1，
∴橢圓的方程為，
又∵橢圓C與直線有且只有一個交點，
∴方程即有相等實根，
∴，解得a²=2，
∴橢圓的方程為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓的方程為，故，
設不經過原點的直線l的方程y=kx+t（t≠0），交橢圓C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
則，∴，
直線OP方程為，且OP平分線段AB，
∴=×，解得 ，
∴，
又∵點P到直線l的距離，
∴，
設，
由直線l與橢圓C相交于A，B兩點可得，
求導可得，此時S_△PAB取得最大值，
此時直線l的方程．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大，對能力要求較高．