Question

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1）．將△AEF、△CFP分別沿EF、PF折起到△A₁EF和△C₁FP的位置，使二面角A₁-EF-B和C₁-PF-B均成直二面角，連結A₁B、A₁P、EC₁（如圖2）
（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）設正△ABC的邊長為3，以

EB

，

EF

，

EA

為正交基底，建立空間直角坐標系．
①求點C₁的坐標；
②直線EC₁與平面C₁PF所成角的大小；
③求二面角B-A₁P-F的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知易得∠A₁EB為二面角A_1-EF-B的平面角．且此二面角為直二面角，進而由面面垂直的性質定理得到A₁E⊥平面BEP；
（2）由題意知，A₁（0，0，1），B（2，0，0），F（0，

3

，0），
①過P、C₁分別作BE、PF的垂線，垂足為G、H．可得G為EB中點，H為EG中點，進而得到P，C₁的坐標
②求出向量

EF

，

FC1

，進而根據

EF

•

FC1

=0，結合向量垂直的充要條件得到EF⊥FC₁，再由EF⊥PF，可得

EF

是平面C₁PF的一個法向量，
代入向量夾角公式，可得直線EC₁與平面C₁PF所成角
③求出平面A₁BP的一個法向量和平面A₁PF的一個法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）在圖1中，AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=2AE而∠A=60°，
∴EF⊥AE
在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB為二面角A_1-EF-B的平面角．
由題設條件知此二面角為直二面角，
∴A₁E⊥BE，
又BE∩EF=E
∴A₁E⊥平面BEF，
即 A₁E⊥平面BEP
解：（2）由題意知，A₁（0，0，1），B（2，0，0），F（0，

3

，0），
過P、C₁分別作BE、PF的垂線，垂足為G、H．
①可得G為EB中點，H為EG中點，
∴G（1，0，0），H（

1

2

，0，0）
而P，C₁的縱坐標與F相同，C₁的豎坐標為縱坐標的一半
從而可得P（1，

3

，0）．
C₁（

1

2

，

3

，

3

2

）
②

EF

=（0，

3

，0），

FC1

=（

1

2

，0，

3

2

）
∴

EF

•

FC1

=0，即EF⊥FC₁
而EF⊥PF，所以

EF

是平面C₁PF的一個法向量，
又cos＜

EF

，

EC1

＞=

3

3 •2

=

3

2

∴＜

EF

，

EC1

＞=

π

6

故直線EC₁與平面C₁PF所成角為

π

3

．
③

A1B

=（2，0，-1），

BP

=（-1，

3

，0），設平面A₁BP的一個法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁）
于是有

2x1-z1=0 -x1+ 3 y1=0

，取x₁=1，得

m

=（1，

3

3

，2）．
同理可求得平面A₁PF的一個法向量

n

=（0，1，

3

）
cos＜

m

，

n

＞=

7 3 3

4 3 3 •2

=

7

8

，所求二面角與這個夾角互補，
所以二面角B-A₁P-F的余弦值為-

7

8

．

點評：本題考查的知識點是有空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標系將空間線線垂直及二面角轉化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關鍵．