Question

已知關于x的一元二次函數f（x）=ax²-bx+1，分別從集合P和Q中隨機取一個數a和b得到數列（a，b）．
（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，列舉出所有的數對（a，b），并求函數y=f（x）有零點的概率；
（2）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|-1≤x≤4，x∈R}，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

（1）∵函數y=f（x）有零點，則△=b²-4a≥0即4a≤b²
如圖，4a≤b²包含6個點：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），∴事件4a≤b²包含基本事件的個數是6個，而P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，包含3×6個點，
∴所求事件的概率為

6

3×6

=

1

3

；
（2）函數f（x）=ax²-bx+1的圖象的對稱軸為x=

b

2a

，
當且僅當b≤2a且a＞0時，
函數f（x）=ax²-bx+1在區是間[1，+∞）上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為；
P={x|1≤a≤3，x∈R}，Q={x|-1≤b≤4，x∈R}，
構成所求事件的區域為長方形部分．
而{（a，b）|1≤a≤3，-1≤b≤4，b≤2a且a＞0}包含的區域為圖中的陰影部分．
∴所求事件的概率為P=

S陰影

S長方形

=

2×5- 1 2 ×1×2

2×5

=

9

10

．