Question

【題目】如圖，點在以為直徑的上運動，平面，且，點、分別是、的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）證明平面可得，再結合即可得出平面，故而平面平面；

（2）建立空間直角坐標系，求出兩半平面的法向量，計算法向量的夾角即可得出二面角的大小．

（1）證明：∵平面，平面，

∴，

∵是圓的直徑，∴，

又，

∴平面，

又平面．

∴，

∵是的中位線，∴，

∴，

∵，是的中點，

∴，

又，

∴平面，又平面，

∴平面平面．

（2）解：∵是圓的直徑，∴，

∵，不妨設，則，，

以，和平面過的垂線為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

∴，，，，，

∴，，，

設平面的法向量為，則，即，

令得，

由（1）知平面，故為平面的一個法向量，

∴．

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．