【題目】已知函數
且
.
（1）求a；
（2）證明：
存在唯一的極大值點
，且
.
【答案】（1）a=1；（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）根據題意結合導函數與原函數的關系可求得
，注意驗證結果的正確性；（2）結合（1）的結論構造函數
，結合
的單調性和
的解析式即可證得題中的不等式成立．
試題解析：（1）
的定義域為
設
，則
等價于
因為
若a=1，則
.當0＜x＜1時，
單調遞減；當x＞1時，
＞0，
單調遞增.所以x=1是
的極小值點，故
綜上，a=1
（2）由（1）知
設
當
時，
；當
時，
，所以在
單調遞減，在
單調遞增
又
，所以在有唯一零點x0，在
有唯一零點1，且當
時，
；當
時，
，當
時，.
因為
，所以x=x0是f(x)的唯一極大值點
由
由
得
因為x=x0是f(x)在（0,1）的最大值點，由
得
所以
點睛:導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出．導數專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系；（2）利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性求參數；（3）利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題；（4）考查數形結合思想的應用．
金鑰匙試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法中正確的是（ ）
A. “
”是“
”成立的充分不必要條件
B. 命題
，則
C. 為了了解800名學生對學校某項教改試驗的意見，用系統抽樣的方法從中抽取一個容量為40的樣本，則分組的組距為40
D. 已知回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為
，則回歸直線方程為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某開發商用9000萬元在市區購買一塊土地建一幢寫字樓，規劃要求寫字樓每層建筑面積為2000平方米．已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加100元．
(1)若該寫字樓共x層，總開發費用為y萬元，求函數y＝f(x)的表達式；(總開發費用＝總建筑費用＋購地費用)
(2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發費用最低，該寫字樓應建為多少層？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
.
（1）若
在其定義域內為單調遞增函數，求實數
的取值范圍；
（2）設
，且
，若在
上至少存在一點
，使得
成立，求實數的取值范圍；
（3）求證：對任意的正整數
，都有
成立.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）
在如圖所示的多面體中，四邊形
和
都為矩形。
（Ⅰ）若
，證明：直線
平面
；
（Ⅱ）設
， 
分別是線段
， 
的中點，在線段
上是否存在一點
，使直線
平面
？請證明你的結論。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左右焦點分別為
，離心率為
，
是橢圓
上的一個動點，且
面積的最大值為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線
斜率為
，且與橢圓的另一個交點為
，是否存在點
，使得
若存在，求
的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，
與
都為等邊三角形，且側面
與底面
互相垂直，
為
的中點，點
在線段
上，且
，
為棱
上一點.
（1）試確定點的位置，使得
平面
；
（2）在（1）的條件下，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校有
、
、
、
四件作品參加航模類作品比賽.已知這四件作品中恰有兩件獲獎，在結果揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四件參賽作品的獲獎情況預測如下.
甲說：“、同時獲獎.”
乙說：“、不可能同時獲獎.”
丙說：“獲獎.”
丁說：“、至少一件獲獎”
如果以上四位同學中有且只有兩位同學的預測是正確的，則獲獎的作品是（ ）
A. 作品與作品B. 作品與作品C. 作品與作品D. 作品與作品
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