Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，.

（1）證明：；

（2）設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，如果存在，求出的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）長(zhǎng)為1.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)，，則由余弦定理可知，根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，先由面面垂直證明線面垂直，再得到線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可得到平面，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）以為原點(diǎn)，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，建立坐標(biāo)系，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式列方程，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）連結(jié)，，則由余弦定理可知，

由直棱柱可知，

（2）以為原點(diǎn)，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，建立坐標(biāo)系.

（），，，

，，

，，

，又，則，故長(zhǎng)為1.