Question

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（-1，0）．
（1）求向量的長度的最大值；
（2）設α=，且⊥（），求cosβ的值．

Answer 1

解：（1）=（cosβ-1，sinβ），則
||²=（cosβ-1）²+sin²β=2（1-cosβ）．
∵-1≤cosβ≤1，
∴0≤||²≤4，即0≤||≤2．
當cosβ=-1時，有|b+c|=2，
所以向量的長度的最大值為2．
（2）由（1）可得=（cosβ-1，sinβ），
•（）=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos（α-β）-cosα．
∵⊥（），
∴•（）=0，即cos（α-β）=cosα．
由α=，得cos（-β）=cos，
即β-=2kπ±（k∈Z），
∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．
分析：（1）利用向量的運算法則求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將其化簡，利用三角函數(shù)的有界性求出最值．
（2）利用向量垂直的充要條件列出方程，利用兩角差的余弦公式化簡得到的等式，求出值．
點評：本題考查向量模的性質(zhì)：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要條件；三角函數(shù)的平方關(guān)系、三角函數(shù)的有界性、兩角差的余弦公式．