Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側面PAB是正三角形，AB=2，BC=

2

，PC=

6

．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知棱PA上有一點E．
（ⅰ）若二面角E-BD-A的大小為45°，求AE：EP的值；
（ⅱ）若Q為四棱錐P-ABCD內部或表面上的一動點，且EQ∥平面PDC，請你判斷滿足條件的所有的Q點組成的幾何圖形（或幾何體）是怎樣的幾
何圖形（或幾何體）．（只需寫出結果即可，不必證明）

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AB中點H，連接PH，CH，由等腰三角形三線合一可得PH⊥AB，結合已知利用勾股定理可得PH⊥CH，由線面垂直的判定定理可得PH⊥平面ABCD，最后由面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）（ⅰ）以H為原點建立如圖所示的空間坐標系H-xyz，設

AE

=λ

AP

(0＜λ＜1)，根據二面角E-BD-A的大小為45°，代入向量夾角公式，求出λ值，可得答案．
（ii）根據線面平行的幾何特征，可得所有的Q點組成的幾何圖形為等腰梯形及其內部，連接PB，AS，BC，PA中點可得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）取AB中點H，連接PH，CH，

∵PAB是正三角形，H為AB中點，AB=2，
∴PH⊥AB，且PH=

3

．…（2分）
∵ABCD是矩形，AB=2，BC=

2

，
∴CH=

1+2

=

3

．
又∵PC=

6

，
∴PC²=PH²+CH²，
∴PH⊥CH．
∵AB∩CH=H，
∴PH⊥平面ABCD．
∵PH?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．…（4分）
解：（Ⅱ） （ⅰ）以H為原點建立如圖所示的空間坐標系H-xyz，設

AE

=λ

AP

(0＜λ＜1)，
則

BE

=

BA

+

AE

=(2-λ，0，

3

λ)，

BD

=(2，

2

，0)．…（5分）
設平面EBD的法向量為

n

=（x，y，z），由

n • BD =0 n • BE =0

，
解得

n

=(-

3

λ，

6

λ，2-λ)，
即平面EBD的一個法向量為

n

=(-

3

λ，

6

λ，2-λ)．…（7分）
又平面ABD的一個法向量為

HP

=(0，0，

3

)，
∵二面角E-BD-A的大小為45°，
∴cos45°=|cos＜

n

，

HP

＞|=

| n • HP |

| n |•| HP |

=

|2 3 - 3 λ|

3 × 10λ2-4λ+4

=

2

2

，
又∵0＜λ＜1，解得λ=

1

2

，
∴AE：EP=1，
（ii）所有的Q點組成的幾何圖形為等腰梯形及其內部，如圖所示：

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的幾何特征，平面與平面垂直的判定，用空間求平面間的夾角，難度中檔．