Question

【題目】我國古代數學家祖暅提出原理：“冪勢既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.原理的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平行平面的平面所截，若所截的兩個截面的面積恒相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖所示，在空間直角坐標系的坐標平面內，若函數的圖象與軸圍成一個封閉區域，將區域沿軸的正方向上移4個單位，得到幾何體如圖一.現有一個與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區域面積相等，則此圓柱的體積為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：首先確定底面積，然后結合柱體的體積公式整理計算即可求得最終結果.

詳解：由題意可知，圖一中底面積是由一個四分之一圓與一個直角三角形組成的圖形，

由可知，該四分之一圓的半徑為2，其面積為：,

由，令可得，由可得，

則直角三角形與坐標軸的交點坐標為，，

直角三角形的面積，

結合題意可得：區域A的面積，即圓柱的底面積：，

結合祖暅原理可得，此圓柱的體積.