Question

【題目】已知函數，，是的導函數.

（1）若，求在處的切線方程；

（2）若在可上單調遞增，求的取值范圍；

（3）求證：當時在區間內存在唯一極大值點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）對函數進行求導，利用導數的幾何意義進行求解即可；

（2）求函數進行求導，讓導函數大于或等于零，進行常變量分離，構造新函數，然后利用導數求出新構造函數單調性，最后求出的取值范圍；

（3）對再求導，求出該函數的單調性，進而證明函數有唯一極大值點即可.

解：（1）∵，

，又

∴在處的切線方程為；

（2）∵∴

令，，則

∵，，∴，

∴在上單調遞減，∴，

（3）∵

∴令，

∴，

顯得在上單調遞減，而

得，

取，則

故存在使

即在上單調遞增，在上單調遞減

也即為的極大值點

所以當時，在區間內存在唯一極大值點.