Question

已知函數， ．
（Ⅰ）如果函數在上是單調函數，求的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實數，使得函數在區間內有兩個不同的零點？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由

Answer 1

Ⅰ）當時，,符合題意．---------1分
當時，的對稱軸方程為，-------2分
由于在上是單調函數，所以，解得或，
綜上，a的取值范圍是，或．          …………………………4分
（Ⅱ），---------5分
因在區間（）內有兩個不同的零點,所以，
即方程在區間（）內有兩個不同的實根． …………6分
設 ，   
  ………7分
令，因為為正數，解得或（舍） 
當時, , 是減函數；  
當時, ，是增函數．          …………………………8分
為滿足題意，只需在（）內有兩個不相等的零點, 故
        解得  

(I)本題轉化為在上恒小于等于零或恒大于等于零.
(II)求出的解析式，然后研究其在區間內的單調性和極值，畫出其畫圖，數形結合求解.