Question

【題目】已知函數，其定義域為.（其中常數，是自然對數的底數）

（1）求函數的遞增區間；

（2）若函數為定義域上的增函數，且，證明: .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求得函數的導數，分類討論，即可求解函數的單調區間；

（2）由題意，問題轉化為，令，，

即證，根據函數的單調性，即可作出證明．

（1）易知，

①若，由解得，∴函數的遞增區間為；

②若，則

				1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴函數的遞增區間為和；

③若，則，∴函數的遞增區間為；

④若，則

		1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴函數的遞增區間為和；

綜上，若，的遞增區間為；

若，的遞增區間為和；

若，函數的遞增區間為；

若，函數的遞增區間為和.

（2）∵函數為上的增函數，∴，即，

注意到，故，

∴不妨設，

欲證，只需證，只需證，

即證，即證，

令，，只需證，

∴ ，

下證，即證，

由熟知的不等式可知，

當時，即，

∴ ，

易知當時，，∴，

∴，

∴，即單調遞增，即，從而得證.