Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，∠PDA＝45°，E，F分別為AB，PC的中點.

（1）證明：EF∥平面PAD；

（2）在線段BC上是否存在一點H，使平面PAH⊥平面DEF？若存在，求此時二面角C﹣HD﹣P的平面角的正切值：若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在，正切值為

【解析】

（1）取中點，連接，，則是的中位線，推導出是平行四邊形，從而，由此能證明平面；

（2）當為中點時，，推導出平面，平面平面，過點作于點，則為二面角的平面角的補角，由此能求出二面角的平面角的正切值.

（1）證明：取PD中點M，連結AM，FM，

則MF是△PCD的中位線，

∴MF∥CD，且MF，

又四邊形ABCD是正方形，則AE∥CD，

且E為AB中點，則AEABCD，

∴AE∥MF，且AE＝MF，∴AMFE是平行四邊形，

∴EF∥AM，

又AM平面PAD，EF平面PAD，

∴EF∥平面PAD.

（2）解：在正方形中，取H為BC中點，為的中點，易證ED⊥AH，

又∵AP⊥ED，且AP，AH為平面APH內兩相交直線，

∴ED⊥平面PAH，

又ED平面DEF，∴平面EFD⊥平面PAH，

此時，過點A作AG⊥DH于點G，

則∠PGA為二面角C﹣HD﹣P的平面角的補角，

由，則AG，tan∠AGP，

∴二面角C﹣HD﹣P的平面角的正切值為.